优化方法：常用数学符号的含义
min
x
∈
Ω
f
(
x
)
f
(
x
)
在
Ω
上
的
最
小
值
\min \limits_{x \in \Omega} f(x) \qquad f(x) 在 \Omega 上的最小值
x∈Ωminf(x)f(x)在Ω上的最小值
max
x
∈
Ω
f
(
x
)
f
(
x
)
在
Ω
上
的
最
大
值
\max \limits_{x \in \Omega} f(x) \qquad f(x) 在 \Omega 上的最大值
x∈Ωmaxf(x)f(x)在Ω上的最大值
s
.
t
.
受
约
束
于
，
s
u
b
j
e
c
t
t
o
缩
写
s.\ t. \qquad 受约束于，subject \ to 缩写
s. t.受约束于，subject to缩写
A
⊂
B
集
合
A
包
含
于
集
合
B
A \subset B \qquad 集合A包含于集合B
A⊂B集合A包含于集合B
A
⊃
B
集
合
A
包
含
集
合
B
A \supset B \qquad 集合A包含集合B
A⊃B集合A包含集合B
x
∈
A
x
属
于
集
合
A
x \in A \qquad x属于集合A
x∈Ax属于集合A
x
∉
A
x
不
属
于
集
合
A
x \notin A \qquad x不属于集合A
x∈/Ax不属于集合A
A
∪
B
集
合
A
与
集
合
B
的
并
集
A \cup B \qquad 集合A与集合B的并集
A∪B集合A与集合B的并集
A
∩
B
集
合
A
与
集
合
B
的
交
集
A \cap B \qquad 集合A与集合B的交集
A∩B集合A与集合B的交集
≈
近
似
等
于
\approx \qquad 近似等于
≈近似等于
∅
空
集
合
\varnothing \qquad 空集合
∅空集合
N
(
x
0
,
ε
)
或
N
ε
(
x
0
)
以
点
x
0
为
中
心
，
ε
为
半
径
的
邻
域
N(x_0, \ \varepsilon) \ 或 \ N_\varepsilon(x_0) \qquad 以点x_0为中心，\varepsilon为半径的邻域
N(x0, ε) 或 Nε(x0)以点x0为中心，ε为半径的邻域
C
k
n
或
(
n
k
)
二
项
式
系
数
，
即
从
n
个
元
素
中
每
次
取
出
k
个
元
素
所
有
不
同
的
组
合
数
C^n_k \ 或 \ \binom{n}{k} \qquad 二项式系数，即从n个元素中每次取出k个元素所有不同的组合数
Ckn 或 (kn)二项式系数，即从n个元素中每次取出k个元素所有不同的组合数
≜
定
义
、
恒
等
\triangleq \qquad 定义、恒等
≜定义、恒等
R
实
数
域
R \qquad 实数域
R实数域
R
n
n
维
实
欧
氏
空
间
R^n \qquad n维实欧氏空间
Rnn维实欧氏空间
[
x
]
不
超
过
x
的
最
大
整
数
[x] \qquad 不超过x的最大整数
[x]不超过x的最大整数
f
(
x
)
∈
C
f
(
x
)
是
连
续
函
数
f(x) \in C \qquad f(x)是连续函数
f(x)∈Cf(x)是连续函数
f
(
x
)
∈
C
k
f
(
x
)
具
有
k
阶
连
续
偏
导
数
f(x) \in C^k \qquad f(x)具有k阶连续偏导数
f(x)∈Ckf(x)具有k阶连续偏导数
f
:
D
⊂
R
n
→
R
f
(
x
)
是
定
义
在
R
n
中
区
域
D
上
的
实
值
函
数
f : D \subset R^n \rightarrow R \qquad f(x)是定义在R^n中区域D上的实值函数
f:D⊂Rn→Rf(x)是定义在Rn中区域D上的实值函数
∥
x
∥
向
量
x
的
欧
式
范
数
，
即
∥
x
∥
=
(
∑
i
=
1
n
x
i
2
)
1
/
2
\parallel x \parallel \qquad 向量x的欧式范数，即 \parallel x \parallel = (\sum \limits^n \limits_{i=1} x^2_i) ^{1/2}
∥x∥向量x的欧式范数，即∥x∥=(i=1∑nxi2)1/2
(
x
,
y
)
或
x
T
y
向
量
x
、
y
的
内
积
(x, y) \ 或 \ x^Ty \qquad 向量x、y的内积
(x,y) 或 xTy向量x、y的内积
d
e
t
(
A
)
或
∣
A
∣
矩
阵
A
的
行
列
式
det(A) \ 或 \ |A| \qquad 矩阵A的行列式
det(A) 或 ∣A∣矩阵A的行列式
r
(
A
)
矩
阵
A
的
秩
r(A) \qquad 矩阵A的秩
r(A)矩阵A的秩
▽
f
(
x
)
f
(
x
)
的
梯
度
，
▽
f
(
x
)
=
(
∂
f
∂
x
1
,
∂
f
∂
x
2
,
⋯
,
∂
f
∂
x
n
)
T
\bigtriangledown f(x) \qquad f(x)的梯度，\bigtriangledown f(x) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ \cdots, \ \frac{\partial f}{\partial x_n})^T
▽f(x)f(x)的梯度，▽f(x)=(∂x1∂f, ∂x2∂f, ⋯, ∂xn∂f)T
H
(
x
)
或
▽
2
f
(
x
)
f
(
x
)
的
H
e
s
s
i
a
n
阵
，
H
(
x
)
或
▽
2
f
(
x
)
≜
(
∂
2
f
(
x
)
∂
x
i
∂
x
j
)
n
×
n
H(x) \ 或 \ \bigtriangledown ^2 f(x) \qquad f(x)的Hessian阵，H(x) \ 或 \ \bigtriangledown ^2 f(x) \triangleq (\frac{\partial ^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j})_{n \times n}
H(x) 或 ▽2f(x)f(x)的Hessian阵，H(x) 或 ▽2f(x)≜(∂xi∂xj∂2f(x))n×n
min
{
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
}
数
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
中
的
最
小
者
\min \{x_1, x_2, \cdots, x_n\} \qquad 数x_1, x_2, \cdots, x_n中的最小者
min{x1,x2,⋯,xn}数x1,x2,⋯,xn中的最小者
max
{
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
}
数
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
中
的
最
大
者
\max \{x_1, x_2, \cdots, x_n\} \qquad 数x_1, x_2, \cdots, x_n中的最大者
max{x1,x2,⋯,xn}数x1,x2,⋯,xn中的最大者
inf
x
∈
X
f
(
x
)
f
(
x
)
在
X
上
的
下
确
界
\inf \limits_{x \in X} f(x) \qquad f(x)在X上的下确界
x∈Xinff(x)f(x)在X上的下确界
sup
x
∈
X
f
(
x
)
f
(
x
)
在
X
上
的
上
确
界
\sup \limits_{x \in X} f(x) \qquad f(x)在X上的上确界
x∈Xsupf(x)f(x)在X上的上确界
x
∗
最
优
解
x^* \qquad 最优解
x∗最优解
f
∗
目
标
函
数
的
最
优
值
f^* \qquad 目标函数的最优值
f∗目标函数的最优值